中国古代重要科技发明创造——勾股容圆

  勾股容圆是通过勾股形和圆的各类相切关系求圆直径的问题,这是中国数学史上的一个主要问题。西汉的《九章算术》勾股章有已知勾股形的勾、股求其内切圆直径的问题,开创了勾股容圆的研究,其给出的公式是“三位(即勾、股、弦)并之为法,以勾乘股,倍之为实,实如法得径一步。”此即圆径d=2aba+b+c。刘徽用收支相补道理和率的理论(借助衰分术)两种方式证了然这个公式。

  宋金期间,洞渊在此根本上研究了统一个圆和各类勾股形的相切关系,给出了由勾股形的三边求圆径的9个公式,称为“洞渊九容”。洞渊是道教的家数,通“九数”,活跃于唐宋。李冶由洞渊九容演绎成《测圆海镜》(1248年),此中会商了勾股形与圆的10种相切关系,并在卷一之首绘出“圆城图式”。

  除《九章算术》中所载景象,还有:圆心在勾上而圆切于股、弦,称为勾上容圆,圆径d=2abb+c;同样,股上容圆d=2aba+c;弦上容圆d=2aba+b;圆心在勾股交点(垂足)而圆切于弦,称为勾股上容圆,d=2abc;圆切于勾及股、弦的耽误线abb+c-a;同样,股外容圆d=2aba+c-b,弦外容圆d=2aba+b-c;圆心在股的耽误线上而圆切于勾、弦的耽误线,称为勾外容圆半,d=abc-a;同样,股外容圆半d=2abc-b。。这10种关系中哪9种是洞渊九容的内容,尚无足够材料论定。天然,圆城图式也应是洞渊九容的附图,而李冶作了弥补。清代李善兰又弥补了3种容圆关系:勾弦上容圆d=2abb,股弦上容圆d=2aba,弦外容圆半d=2abb-a。

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